分析选项 A：
右颈总动脉并不是主动脉弓右侧发出的第一个分支。右颈总动脉是头臂干的分支，头臂干再分为右颈总动脉和右锁骨下动脉，所以选项 A 错误。
分析选项 B：
右锁骨下动脉同样是头臂干的分支，不是主动脉弓右侧发出的第一个分支，它与右颈总动脉一起由头臂干分出，所以选项 B 错误。
分析选项 C：
主动脉弓呈弓形弯向左后方，其凸侧发出 3 个较大的分支，自右向左依次为头臂干、左颈总动脉和左锁骨下动脉。所以主动脉弓右侧发出的第一个分支是头臂干，该选项正确。
分析选项 D：
左颈总动脉是主动脉弓发出的第二个分支，位于头臂干的左侧，不是右侧发出的第一个分支，所以选项 D 错误。
分析选项 E：
左锁骨下动脉是主动脉弓发出的第三个分支，位于左颈总动脉的左侧，不是主动脉弓右侧发出的分支，所以选项 E 错误。
综上，主动脉弓右侧发出的第一个分支是头臂干，答案选 C。